ЕГЭ по математике. Практическая подготовка к заданию С3.

автор: Д.А. Волков

 

 

 

                                                    

 

Для чего написана данная книга и кому она предназначена

 

Основная цель книги – помочь учащимся старших классов овладеть методами решения задания С3 (ЕГЭ, математика), начиная с самых азов.

По данной книге можно:

● самостоятельно подготовиться к ЕГЭ по математике (задача С3);

● повторить или изучить некоторые темы школьной программы;

● осуществлять подготовку учащихся к ЕГЭ по математике (задача С3);

● подобрать материал для проведения школьных уроков по математике по некоторым темам.

Возможны и другие варианты применения книги. Например, при подготовке к ЕГЭ по математике с репетитором или на курсах можно использовать данную книгу как дополнительный или даже как основной учебник.

Книга предназначена для старшеклассников, преподавателей, деятельность которых так или иначе связана с подготовкой школьников к ЕГЭ по математике, а также для школьных учителей.

 

Особенности книги

 

Книга была написана на основе курса подготовки к ЕГЭ, практикуемого автором, и успешно апробирована его учениками (все они были учащимися общеобразовательных классов) в своей работе. Её уникальность в следующем:

● в книге рассматриваются все тонкости, связанные с решением задания С3, но при этом дается только самое необходимое;

● теоретический материал и решение заданий в книге излагаются очень простым языком и настолько подробно, как это обычно делается на репетиторских занятиях;

● упражнения для самостоятельного решения уже подобраны таким образом и выстроены в такой последовательности, чтобы при их выполнении у читателя относительно быстро приобретались необходимые навыки;

● в книге помещаются все необходимые сведения по школьной программе (в том числе подробно излагаются некоторые темы школьной программы), расшифровываются все встречающиеся математические термины;

● в книге приводится очень подробное решение пятнадцати заданий С3 (из диагностических работ и сборников для подготовки к ЕГЭ), причем к каждому заданию даются упражнения для самостоятельной работы, решение которых основывается на тех же идеях, что и данного задания.

 

Структура книги и как с ней работать

 

Книга написана по тому же принципу, что и учебник. В ней четыре главы, каждая глава делится на несколько пунктов. В пунктах приводится теоретический материал, демонстрационные примеры и упражнения для самостоятельного решения.

Учащимся рекомендуется работать с книгой следующим образом. Читаем теоретический материал пункта или информационной вставки (о том, что такое информационная вставка, будет сказано далее). Далее разбираем решение демонстрационных примеров, по возможности пытаемся решать эти примеры самостоятельно и сверяться с приведенным в книге их решением. И, наконец, выполняем задания для самостоятельной работы, сверяемся с ответами и исправляем ошибки. К некоторым из этих заданий в книге приводятся указания или подробные решения.

Читайте книгу, ничего не пропуская, ставьте перед собой четкие цели и хорошо закрепляйте пройденный материал.

Детальные рекомендации о том, как наиболее эффективно работать с книгой, приведены в предисловии автора (в самом начале книги), а также в разделе «Пример работы с книгой» этого документа.

 

Информационные вставки

 

По мере ознакомления с основным материалом книги у читателя (в особенности не очень подготовленного) могут возникнуть вопросы в связи с забытыми сведениями из школьной программы, незнакомыми математическими терминами, знаками, новыми непривычными приемами решения задач и т. п.

С целью устранить данные трудности в тексте книги помещены специальные примечания: информационной вставки.

Информационная вставка – это полезная информация, актуальная на данный момент времени в связи с решением конкретного задания, ознакомлением с каким-то методом.

Например, на стр. 26 книги приводится следующая цепочка для  решения показательного неравенства

      …

Ответ: .

Но поскольку автор допускает, что далеко не все читатели помнят, как решается последнее в этой цепочке неравенство второй степени

,

то тут же на стр. 27-29 книги дается информационная вставка «Решение неравенств второй степени с одной переменной графическим методом». В ней достаточно подробно излагается соответствующий материал.

Ниже приводится выдержка из оглавления книги. Обратите внимание, что заголовки глав и пунктов набраны прямым шрифтом и имеют номер, а заголовки информационных вставок набраны курсивом и не нумеруются.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Глава I. Методы решения типовых показательных неравенств и уравнений . . . . . . . . . . 14

1. Общие сведения о неравенствах с одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Степень числа и ее свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Показательная функция. Ее свойства и график . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

4. Решение типовых показательных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Методы решения простейших показательных неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  23

Решение неравенств второй степени с одной переменной
графическим методом
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Решение неравенств методом интервалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Решение показательных неравенств методом замены переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

Система и совокупность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. Решение типовых показательных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

Типовые показательные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  50

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Пример работы с книгой

 

Изложение материала книги построено таким образом, чтобы каждая новая тема логично следовала из предыдущей, и читатель мог найти ответы на все возникающие у него вопросы. Если Вы читаете книгу, ничего не пропуская, ставите перед собой четкие цели и хорошо закрепляете пройденный материал, то с освоением нового материала больших проблем не будет.

Пусть, например, Вы поставили перед собой цель научиться решать показательные неравенства, приведенные в № 2 (стр. 48 книги):

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. а) ;                   б) ;                      в) ;                          г) ;

    д) ;        е) ;           ж) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В связи с этим на стр. 26-27 книги можно прочитать следующее:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№ 2

Специфика заданий: показательное неравенство сводится к квадратному.

Разберем для примера решение неравенства из № 2(д):

      …

Ответ: .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Давайте разберемся в деталях приведенного решения.

Во-первых, что означает знак ? Из материала, приведенного на стр. 15-16 книги, мы узнаем, что это так называемый знак равносильности, он ставится между равносильными неравенствами, то есть неравенствами, множества решений которых совпадают. Далее в примерах 1.3 и 1.4, а также в тексте между ними мы почерпнём необходимую информацию, связанную с равносильными неравенствами и знаком равносильности.

Теперь неплохо бы понять, как в нашем решении осуществляется переход от одного неравенства к другому, ему равносильному.

Например, как перейти от неравенства

к неравенству

?

Очевидно, всё дело в том, что

, а .

Здесь мы применили формулы:

 

и

,

которые были приведены на стр. 20 книги. Эти формулы выражают свойства степени.

Теперь давайте разберемся, как перейти от неравенства

к неравенству

.

По этому поводу на стр. 23 книги можно прочесть следующее:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Прежде всего, заметим, что показательное неравенство

                            (1)

при  равносильно неравенству

,                           (2)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Это означает, что неравенство вида (1) можно заменить неравенством вида (2), если основание степени , что в нашем случае и имеет место.

И, наконец, если Вы забыли, как решается неравенство  , то прочитайте, приведенную на стр. 27-29 книги информационную вставку «Решение неравенств второй степени с одной переменной графическим методом».

Как видите, в книге приводится очень полная информация о том, как решается показательное неравенство из № 2(д), и даже дается школьный материал по алгебре за 8-ой и 9-ый классы.

Теперь для закрепления нужно решить выборочно несколько неравенств из № 2 (стр. 48 книги) и сверить свои ответы с приведенными на стр. 51. При необходимости нужно исправить ошибки.

 

Как найти в книге нужную информацию

 

Регулярно занимаясь по книге, Вы постепенно запомните, в каком из ее пунктов (информационных вставок) расположена та или иная полезная информация. Если Вам потребуется освежить в памяти забытую информацию, то для этого достаточно будет найти по оглавлению книги номера страниц соответствующего пункта (информационной вставки).

Например, пусть Вы забыли, как решается неравенство с модулем:

.

По оглавлению книги сначала находим пункт 11. Уравнения и неравенства со знаком модуля, а затем информационную вставку «Решение неравенств со знаком модуля» и номера страниц, на которых материал этой вставки располагается:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11. Уравнения и неравенства со знаком модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  99

Решение уравнений со знаком модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   99

Решение неравенств со знаком модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Свойства модуля и их применение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Затем повторяем забытый материал.

В заключении ещё раз отметим, чем полезна данная книга своим потенциальным читателям.

 

Чем будет полезна данная книга ученику

 

Работая с данной книгой, Вы не просто качественно готовитесь к ЕГЭ, а получаете гораздо больше.

♦ Вы систематизируете знания по школьному материалу, так или иначе затрагиваемому в связи с решением задачи С3. А приведенные в систему знания послужат Вам не только при сдаче ЕГЭ, но и при изучении высшей математики в вузе.

♦ Вам не придется покупать другие пособия и учебники, так как в данной книге изложены все тонкости, связанные с решением задачи С3.

♦ Учащиеся общеобразовательных классов по данной книге изучат необходимые элементы углубленной программы по математике.

♦ Вам не придется тратить время и силы на изучение совершенно ненужного материала, которым порой перегружены другие пособия по подготовке к ЕГЭ, поскольку в данной книге дается только самое необходимое.

♦ Вы сэкономите массу времени, если будете повторять по данной книге пройденный ранее на курсах или на занятиях с репетитором материал, вместо того, чтобы просить преподавателя этот материал Вам напоминать.

♦ Если Вы занимаетесь с репетитором, то по согласованию с ним можете пройти самостоятельно по данной книге некоторые новые темы, тем самым высвободив время репетиторских уроков для освещения других вопросов.

 

Чем будет полезна данная книга преподавателю

 

Занимаясь подготовкой учащихся к ЕГЭ по данной книге, преподаватель также может сэкономить массу времени и сил. Всё что от него требуется – это излагать представленные в книге темы в том порядке, в котором они расположены, а также сохранять порядок упражнений. Разумеется, преподаватель, сообразуясь с ситуацией, может отказаться от рассмотрения некоторых тем и ограничить круг выполняемых заданий.

Несомненный положительный момент данной книги, как для ученика, так и для преподавателя – это наличие подробно разобранных демонстрационных примеров. Благодаря этому преподаватель при подготовке к уроку может не тратить время на решение заданий. По приведенному решению демонстрационного примера преподаватель также может объяснить ученику какие-либо тонкости, связанные с методом решения или оформлением. В свою очередь ученик всегда, когда это понадобится, сможет обратиться к приведенному в книге решению примера и вспомнить все его детали.

В последней главе книги приведены подробные решения 15-ти заданий С3 (с упражнениями для закрепления материала). Эта глава, в частности, позволяет осуществлять подготовку к ЕГЭ в сжатые сроки, когда времени на подробное систематическое изучение материала уже не остается.

 

Чем будет полезна данная книга школьному учителю

 

Учитель может:

♦ найти в данной книге ценный материал (как теоретический, так и практический) для проведения уроков, занятий по подготовке к ЕГЭ

♦ индивидуально для каждого ученика подобрать по книге задания определенного типа и уровня сложности

♦ организовать работу учащихся по самостоятельному повторению изложенного в этой книге материала по школьной программе, а также ее закреплению

* * *

Автор надеется, что работа читателей с данной книгой будет плодотворной и принесет чувство удовлетворения.