Новый двухуровневый учебник

«Алгебра и начала математического анализа»

для 10 классов общеобразовательных учреждений

(базовый и профильный уровни),

авторы: Е. П. Нелин, В. А. Лазарев

 

                    

 

Учебник включен в федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) к использованию в образовательном процессе, на 2010/2011 учебный год. Содержание учебника соответствует федеральным компонентам государственного стандарта среднего (полного) общего образования по математике. Учебник содержат материал как базового, так и профильного уровней стандарта. По нему можно работать независимо от того, по каким учебникам математики учились школьники в предыдущие годы.

Предлагаемый учебник направлен на реализацию основных положений кон­цепции профильного обучения в старшей школе, на организацию личностно-ориентированного обучения математике, на создание условий для дифференциа­ции содержания обучения старшеклассников, для построения индивидуальных образовательных программ.

Как известно, в обучении учебник выполняет две основные функции: 1) является источником учебной информации, которая раскрывает в доступной для учащихся форме предусмотренное образовательным стандартом содержа­ние; 2) выступает средством обучения, с помощью которого осуществляется организация учебного процесса, в том числе и самообразование учащихся.

Укажем основные отличия предлагаемого учебника от других учебников по алгебре и началам анализа в выполнении этих функций.

Это двухуровневый учебник, содержащие общий материал для классов, в которых учащиеся изучают математику на базовом или профильном уров­нях (номера соответствующих параграфов в содержании напечатаны на белом фоне), и дополнительный материал (номера параграфов в содержании напечатаны на синем фоне) для классов, которые изучают математику на профильном уровне (этот же дополнительный материал может использоваться и для организации индивидуальной работы учащихся при их обучении на базовом уровне). Заметим, что использование двухуровневого учебника также позволяет ученику легко менять уровень изучения курса алгебры и начал анализа (с базового на профильный или, при необходимости, и наоборот).

Учебники предоставляют возможность каждому ученику находить свое соотношение между научностью изучаемого материала и его доступностью. Для этого основной материал, который должны усвоить учащиеся, структурирован в форме справочных таблиц в начале параграфа, которые содержат системати­зацию теоретического материала и способов деятельности с этим материалом в форме специальных ориентиров по решению задач (см., например, фрагмент учебника, приведенный на с. 9).  В первую очередь учащиеся должны усвоить материал, который содержится в таблицах. Все необходимые объяснения и обоснования тоже приведены в учебнике (пример см. ниже на с.10), но каждый ученик может выбирать свой собственный уровень ознакомления с этими обоснованиями. (Естественно, что при объяснении нового материала целесообразно использовать работу с учебни­ком по соответствующим таблицам и рисункам.)

Подчеркнем, что любой учебник алгебры и начал анализа должен обеспе­чить не только ознакомление учащихся с основными алгебраическими поня­тиями и их свойствами, но и обеспечить  фор­мирование способов деятельности с этими понятиями. Систему условий, на которую реально опирается учащийся при выполнении действия, психологи называют ориентировочной основой деятельности. Если учащимся предлагают достаточно общие ориентировочные основы для выполнения соот­ветствующих заданий в виде специальных правил и алгоритмов, то говорят, что им предлагаются ориентировочные основы второго и третьего типов. Как правило, в учебниках алгебры и начал математического анализа для 10–11 классов учащимся предлагаются только образцы выполнения заданий, а затем учащиеся присту­пают к самостоятельной деятельности, ориентируясь на эти образцы (в этом случае говорят, что учащимся предлагаются ориентировочные основы первого типа). Такое обучение предполагает, что учащийся самостоятельно выполнит систематизацию и обобщение способов деятельности, ориентируясь на пред­ложенные образцы, и выделит для себя ориентировочную основу выполнения рассмотренных заданий. Как правило, в этом случае ориентировочная основа, которая образуется у учащегося, неполная и, кроме того, часто не осознана, так как учащийся не может объяснить, почему при выполнении задания он выполнил именно такие преобразования, а не другие. По этой причине одним из принципов построения данного учебника было выделение для учащихся ориентировочных основ соответствующей деятельно­сти по выполнению алгебраических заданий непосредственно в учебнике (примеры таких ориентиров приведены далее).

В каждом разделе решению упражнений предшествует выделение общих ориентиров по решению таких задач. Поэтому важной составляющей рабо­ты с предложенными учебниками является обсуждение выбора соответствующих ориентиров и планов решения задач. Объяснение методов решения ведется по схеме:

   

Решение

Комментарий

Как можно записать решение задачи

Как можно рассуждать при решении такой задачи

 

При такой подаче учебного материала комментарий, в котором объясняется решение, не мешает восприятию основной идеи и плана решения задач опреде­ленного вида. Это позволяет ученику, который уже усвоил способ решения, с помощью приведенного примера вспомнить, как решать задания, а ученику, которому необходима консультация по решению, — получить такую деталь­ную консультацию, которая содержится в комментарии. Это же позволяет ученику, который не смог присутствовать на уроке, где объяснялся соответствующий материал, самостоятельно освоить его. (См. фрагменты учебника, приведенные далее.)

 

Отметим особенности методики обучения решению уравнений и неравенств, реализованной в учебниках. Как и в других учебниках здесь детально рассматривается решение простейших уравнений и неравенств каждого вида. Для более сложных уравнений и неравенств предлагается двухуровневая система ориентиров:

1)      общие методы (для решения уравнений: равносильные преобразования, использование уравнений следствий, использование свойств функций; для решения неравенств ¾ равносильные преобразования и общий метод интервалов), с которыми учащиеся знакомятся уже в первом разделе учебника 10 класса (§3 – 5);

2)      специальные методы (для решения конкретных видов уравнений и неравенств, например, для тригонометрических уравнений  ¾ §20, для показательных ¾ §32).

Такая структуризация методов позволяет, во-первых, предложить учащимся определенные ориентиры по поиску (и реализации) планов решения уравнений и неравенств, а во-вторых ¾ многократно повторить и закрепить общие методы при решении уравнений и неравенств конкретных видов (например, если ученик по какой-то причине не научился использовать уравнения-следствия при решении иррациональных уравнений в § 26 учебника 10 класса, то ему предлагают реализовать ту же самую схему деятельности при решении логарифмических уравнений в § 35).

Приведем примеры общих ориентиров для поиска плана решения уравнений, предлагаемых в учебнике в § 3 (также на с. 9 приведен фрагмент учебника, в котором рассматриваются специальные ориентиры для решение логарифмических уравнений и применение предложенного общего ориентира).

 

 

 

Особо следует отметить раннее (в § 4 учебника 10 класса) введение общего метода интервалов для решения любых неравенств вида f (x) > 0 ( f (x) < 0, f (x) ³ 0, f (x) £ 0), где f (x) ¾ элементарная функция, для которой с частичной опорой на наглядно-образные представления рассматривается свойство (которое доказывается в курсе математического анализа для высшей школы и уточняется в учебнике 11 класса как свойство непрерывных функций): если на интервале (a; b) элементарная функция f (x) определена  и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет постоянный знак. Такой подход позволяет обоснованно выделить  общую схему метода интервалов и использовать ее для решения неравенств всех видов, которые рассматриваются далее: иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических. Отметим также, что раннее введение общего метода интервалов позволяет в тех случаях, когда учитель работает на базовом уровне, снять проблему типа: «нет времени на доказательство теорем о равносильности иррациональных неравенств и на их решение» ¾ эти неравенства можно успешно решать общим методом интервалом, умея решать только иррациональные уравнения (и это показано в учебнике). Кроме того, указанный подход позволяет заменить типичную реакцию учеников: «а мы таких неравенств не решали» более плодотворным ориентиром: «решаем это неравенство методом интервалов» (например, весьма эффективным такой подход оказывается при подготовке учащихся к решению  заданий С3  ЕГЭ 2011). Также отметим, что метод интервалов позволяет одинаково успешно решать как строгие, так и нестрогие неравенства (они решаются по одному алгоритму), а вот при равносильных преобразованиях неравенств, часто нестрогое неравенство, например,
f (x) ³ 0 (когда множество его решений содержит «изолированные» точки) приходится заменять совокупностью: f (x) = 0 или f (x) > 0.

Приведем пример решения в учебнике иррациональных неравенств методом интервалов
(в учебнике также рассматривается и решение иррациональных неравенств с помощью равносильных преобразований) .

 

 

Авторы учитывают, что для развития  творческой личности важно развитие и левого полушария мозга (отвечающего за логическое мышление) и правого (отвечающего за конкретно-образное мышление, интуицию, озарение, возможность охватить проблему в целом, высказать гипотезу). Поэтому в тех ситуациях, когда в арсенале учащихся еще недостаточно сведений для аналитического обоснования утверждений курса, мы подключаем проведение доказательных рассуждений, частично опирающихся на наглядно-образные представления (например, при исследовании свойств тригонометрических функций для построения их графиков в § 14 учебника 10 класса). Такие рассуждения также полезны и при подготовке к решению тех заданий ЕГЭ по математике, которые связаны с анализом графической информации. Заметим, однако, что чаще всего в учебнике графические иллюстрации используются для наглядной иллюстрации рассматриваемых свойств, а сами доказательства проводятся аналитически, что способствует неформальному усвоению учащимися соответствующих свойств и их доказательств.

Авторы постарались уделить должное внимание формированию у учащихся элементов исследовательской деятельности при решении задач с параметрами, для которых в учебниках рассмотрены как аналитические методы решения, так и наглядная графическая иллюстрация их решений (соответствующие задачи рассматриваются в учебнике 10класса в §7, §23, §30, §37).

Приведем фрагмент пункта § 7 «Уравнения и неравенства с параметрами» (с. 101-103 учебника).

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

 

Формированию элементов исследовательской деятельности служит также рассмотрение с учащимися наиболее «коварных» моментов, связанных с решением уравнений ¾ появление посторонних корней и потеря корней при решении уравнений или их систем (см., например, табл. 7 в §3, табл. 42  в § 22  и § 21 учебника 10 класса). Также формированию элементов исследовательской деятельности способствует решение уравнений в целых числах, рассмотренное в §9 учебника 10 класса. Приведем пример такой задачи (с. 126-127 учебника).

 

 

 

 

 

Учебник, в значительной степени, нацелен на подготовку учащихся к поступлению в вузы. В нем много заданий, которые предлагались на вступительных экзаменах в различные вузы страны и на Едином государствен­ном экзамене (ЕГЭ) по математике (включая часть С).  За счет четкого выделения общих ориентиров работы с практическими за­даниями курса удается часть «нестандартных» (с точки зрения традиционных учебников) задач перевести в разряд «стандартных» (например, уравнения, для решения которых приходится применить свойства функций). Это позволя­ет уменьшить разрыв между уровнем требований традиционной государствен­ной аттестации по алгебре и началам анализа и уровнем требований по этому курсу на вступительных экзаменах в вузы и в заданиях ЕГЭ, а также ознакомить учеников с методами решения задач, которые предлагаются на вступительных экзаменах в вузы и в заданиях ЕГЭ по математике. В частности, даже если ученик изучает математику на базовом уровне, ему предоставляется возможность познакомиться с методами и идеями решения заданий вступительных экзаменов по математике, а также с методами реше­ния и оформлением заданий второй части (С) ЕГЭ по математике.

Для более цельного представления об учебнике приведем его фрагмент, который иллюстрирует описанные структуру и содержание учебника.